数学分析 第二十二章 曲面积分 第二型曲面积分的典型 物理背景是计算流体从曲 面一侧流向另一侧的流量 . 与第二型曲线积分相类似 , 第二型曲面积分与曲面所 取的方向有关, 这就需要先 定义“曲面的侧”.
§2 第二型曲面积分
一、曲面的侧 二、第二型曲面积分的概念 三、第二型曲面积分的计算 四、两类曲面积分的联系
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§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
曲面的侧
设连通曲面 S 上到处都有连续变动的切平面 ( 或法 线 ), 曲面在其上每一点处的法线有两个方向:当取 另一个指向就是负方 当 S 上的动点 M 从 时,如果有如下特 M
0
定其中一个指向为正方向时,
向. 又设
M 0 为 S 上任一点, L为 S上任一经过点
且不超出 S 边界的闭曲线.
出发沿 L 连续移动一周而回到 征: 出发时 M 与
0
M0 , M0
取相同的法线方向 , 而回来时仍 M
保持原来的法线方向不变,则称该曲面 S 是双侧的. 否则, 若
M 由某一点
M 0 出发, 沿 S 上某一封闭曲线
后退 前进 目录 退出
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
回到
时 M 0 , 其法线方向与出发时的方向相反, 则称 单侧曲面的
S 是单侧曲面. 我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面. 一个典型例子是默比乌斯(M?bius)带. 法如下:
它的构造方
取一矩形长纸条ABCD (如图22-4(a)), 将其 ( 即让 A 与 C 一端扭转 180? 后与另一端粘合在一起
重合, B 与 D 重合, 如图22-4(b)所示 ).
B A
C
M0
BD
D
AC
(a)
图 22 ? 4
(b)
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
默比乌斯( M? bius,A.F. 1790-1868, 德 国)
通常由
z ? z ( x , y ) 所表示的曲面都是双侧曲面,
当 S 为封闭曲面时,法线方向朝外
其法
线方向与 z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧, 另一侧称为下侧.
的一侧称为外侧,另一侧称为内侧.
作为正侧,下侧作为负侧; 正侧, 内侧作为负侧.
习惯上把上侧
又把封闭曲面的外侧作为
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曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的概念
先考察一个计算流量的问题. 设某流体以流速
? v ? P ( x , y , z ) i +Q( x , y , z ) j +R( x , y , z ) k
其中 P, Q, R 为
从曲面 S 的负侧流向正侧 (图22-5),
所讨论范围上的连续函
S
Si
数,
求在单位时间内流过
曲面 S 的总流量 E. 设在 S 上任一点
(?i ,?i ,? i )
?
n
v
( x, y, z )
图 22 ? 5
处的正向单位法向量为
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
? n ? (cos ? ,cos ? ,cos ? ),
概念
计算
两类曲面积分的联系
这里 ?, ?, ? 都是 x, y, z 的函数. 小曲面块
则单位时间内流经
的流量 S i ? ? ?i ? v (? i ,?i , ? i ) ? n(? i ,?i , ? i )?Si
? [ P (? i ,?i ,? i )cos? i ? Q(? i ,?i , ? i )cos ? i ? R(? i ,?i ,? i )cos ? i ]?Si , 其中 M i (? i ,?i , ? i ) ? Si 是任意取定的一点; ? 处的单位法向量; ni ? (cos ? i , cos ? i , cos ? i ) 是点 M i ?Si cos? i , ?Si cos ? i , ?Si cos ? i 分别是 S i 在坐标面 分别记作 ?S yz , zx , xy 上投影区域的近似面积, i ( yz ) ,
?Si ( zx ) , ?Si ( xy ) .
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
于是单位时间内由
Si
的负侧流向正侧的流量
?i
也就
近似等于
P (? i ,?i ,? i )?Si ( yz ) ? Q(? i ,?i ,? i )?Si ( zx ) ? R(? i ,?i ,? i )?Si ( xy ) .
所以, 单位时间内由
n n ||T ||?0
S
i ?1
的负侧流向正侧的总流量
? ? ??i ? lim ? ? ? P (? i ,? i , ? i )?Si ( yz )
i ?1
?Q(? i ,?i ,? i )?Si ( zx ) ? R(? i ,?i ,? i )?Si ( xy ) ? ?.
这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第
二型曲面积分.
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
定义1
设 P, Q, R 为定义在双侧曲面 S 上的函数. 割T, 它把 S 分为 对 S 作分 分割 T 的细度为
|| T ||? max? Si 的直径 ? .
1? i ? n
S1 , S2 , ?, Sn ,
?Si ( yz ) , ?Si ( zx ) , ?Si ( xy ) 分别表示
的投影区域的面积, 它们的符号由
Si
在三个坐标面上
S i 的方向来确定: ? ? 0, Si 取上侧 , ? ? 0, Si 取前侧 , ? Si ( xy ) ? ? Si ( yz ) ? ? ? 0, Si 取下侧; ? ? 0, Si 取后侧; ? ? 0, Si 取右侧 , ? Si ( zx ) ? ? ? 0, Si 取左侧 .
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
定义1
?(? i ,?i ,? i ) ? Si , i ? 1, 2, ?, n .
n ||T ||?0 i ?1
若
n
I ? lim ? P (? i ,?i , ? i )?Si ( yz ) ? lim ? Q(? i ,?i , ? i )?Si ( zx )
||T ||?0
? lim
的选取无关,
||T ||?0
? R(? ,? , ?
i ?1 i i
n
i ?1
i
)?Si ( xy )
中的三个极限都存在,
且与分割 T 和点
(? i ,?i ,? i ) 的
?? F ? P ( x , y , z ) i +Q( x , y , z ) j +R( x , y , z ) k 记作 在曲面 S 所指定一侧上的第二型曲面积分, P ( x, y, z )dydz ? Q( x , y, z )dzdx ? R( x , y, z )dxdy ? I , ?? S (1)
则称此极限 I 为向量函数
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
或
据此定义, 某流体以速度
?? P( x, y, z )dydz ? ?? Q( x, y, z )dzdx ? ?? R( x , y, z )dxdy ? I . ?
S S S
v ? ( P , Q , R ) 从曲面 S 的
负侧流向正侧的总流量即为
? ? ?? P ( x, y, z )dydz ? Q( x , y, z )dzdx ? R( x , y , z )dxdy .
S
又如, 若空间中的磁场强度为
?? E ? ? P ( x , y, z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) ? , 则按指定方向穿过曲面 S 的磁通量(磁力线总数)为
H ? ?? P ( x , y, z )dydz ? Q( x , y, z )dzdx ? R( x , y, z )dxdy .
S
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曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
若以
S ? 表示曲面 S 的另一侧, 由定义易知 ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy
? ? ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy .
S
S?
第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质: 1. 若
?? P dydz ? Q dzdx ? R dxdy (i ? 1,2,?, k ) 存在,
i i i
则有
?? (? c P )dydz ? (? c Q )dzdx ? (? c R )dxdy
S i ?1 i i i ?1 i i i ?1 i i
S
k
k
k
? ? ci ?? Pi dydz ? Qi dzdx ? Ri dxdy ,
i ?1
k
其中
ci ( i ? 1,2,?, k ) 是常数 .
Si
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
2. 若曲面S是由两两无公共内点的曲 面
S1 , S2 ,?, Sk
所组成, 则有
?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy
S
? ? ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy .
i ?1 Si
k
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曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的 计 算
定理22.2
设
R( x , y , z )是定义在光滑曲面 S : z ? z( x , y ),( x , y ) ? D( xy ) .
以 S 的上侧为正侧(这时 S 的法线方 则有
上的连续函数, 向与
z 轴正向成锐角),
?? R( x, y, z )dxdy ? ?? R( x, y, z( x, y ))dxdy .
S D( xy )
(2)
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
证 由第二型曲面积分的定义,
?? R( x, y, z )dxdy ? lim ? R(? ,? ,?
S ||T ||?0 i ?1 n i i
d ?0 i ?1
n
i
)?Si ( xy )
? lim ? R(? i ,?i , z(? i ,?i ))?Si ( xy ) ,
这里
d ? max?Si ( xy ) 的直径? . 显然有
z 在 D( xy ) 上连续(曲面光滑),
据
|| T || ? max ? Si 的直径? ? 0 ? d ? 0.
由于 R 在 S 上连续, 复合函数的连续性, 由二重积分的定义,
R( x , y , z( x , y )) 在 D( xy )上也连续.
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
D( xy )
?? R( x, y, z( x, y ))dxdy ? lim ? R(? ,? , z(? ,? ))?S
d ?0 i ?1 i i i i
n
i ( xy )
.
所以
?? R( x, y, z )dxdy ? ?? R( x, y, z( x, y ))dxdy .
S D( xy )
类似地, 当
P ( x , 在光滑曲面 y, z )
S : x ? x ( y , z ) , ( y , z ) ? D( yz )
有
上连续时,
?? P ( x, y, z )dydz ? ?? P ( x( y, z ), y, z )dydz .
S D( yz )
(3)
这里 S 是取法线方向与 侧为正侧.
x
轴的正向成锐角的那一
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曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
当
在光滑曲面 Q( x , y , z )
S : y ? y( z , x ), ( z , x ) ? D( zx )
上连续时, 有
?? Q( x, y, z )dzdx ? ?? Q( x, y( z, x ), z )dzdx.
S Dzx
(4)
这里 S 是取法线方向与 侧为正侧.
y
轴的正向成锐角的那一
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曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
例1 计算
?? xyzdxdy,
S
z
其中 S 是球 面 在
x2 ? y2 ? z2 ? 1
部分并取球面
x
x?0, y?0
O
S1
y
的外侧(图 22-6).
解 曲面 S 在第一、五卦限部 分的方程分别为
S2
图 22 ? 6
S1 : z1 ? 1 ? x 2 ? y 2 ,
S 2 : z2 ? ? 1 ? x 2 ? y 2 .
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
它们在 xy 平面上的投影区域都是单位圆在第一象 限部分.
因积分是沿
S1 的上侧和 S2 的下侧进行,
S2
故
?? xyzdxdy ? ?? xyzdxdy ? ?? xyzdxdy
S
S1
?
D( xy )
??
xy 1 ? x 2 ? y 2 dxdy ?
D( xy )
?? ?
? xy 1 ? x 2 ? y 2 dxdy
?
? 2 ?? xy 1 ? x 2 ? y 2 dxdy
D( xy )
π 2 0
? 2?
2 d? ? r cos? sin? 1 ? r dr = . 0 15
1 3 2
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
例2 计算
??
S
e
y
x2 ? z2
dzdx , 其中 S
是由曲面
y ? x 2 ? z 2 与 y ? 1, y ? 2
解 曲面
所围立体表面的外侧. 其中
S ? S1 ? S2 ? S3 ,
S1 ? ( x , y ) x 2 ? z 2 ? 1, y ? 1 , 取左侧,
其投影为
?
?
S2 ? ( x , y ) x 2 ? z 2 ? 2, y ? 2 , 取右侧,
其投影为
?
D1 : x 2 ? z 2 ? 1;
?
S3 ? ( x , y ) y ? x 2 ? z 2 ,1 ? y ? 2 , 取左侧,
?
D2 : x 2 ? z 2 ? 2;
?
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
其投影为
D3 :1 ? x 2 ? z 2 ? 2.
e
2π
I1 ? ??
S1
y
x2 ? z2
1 0
dzdx ? ? ??
D1
e x2 ? z2
dzdx
(取左侧)
? ?e ?
1 d? ? rdr ? ?2eπ. 0 r
y
I 2 ? ??
S2
e
x2 ? z2
dzdx ? ??
D2
2
e
2
x2 ? z2
dzdx
(取右侧)
?e
2
?
2π
0
d? ?
0
1 r dr ? 2 2e 2 π. r
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
I 3 ? ??
S3
e
y
x2 ? z2
2π 2 0 1
dzdx ? ? ??
D3
e
x2 ? z2
x2 ? z2
2
d zd x
(取左侧)
? ? ? d? ?
因此
er r dr ? ?2(e r
? e) π.
??
S
e
y
x2 ? z2
dzdx ? I1 ? I 2 ? I 3
? ?2eπ+2 2e 2 π ? 2(e ? 2( 2 ? 1)e 2 π.
2
? e)π
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
如果光滑曲面 S 由参数方程给出:
? x ? x ( u, v ), ? S : ? y ? y( u, v ), ( u, v ) ? D . ? z ? z ( u, v ), ?
若在 D 上各点它们的函数行列式
?( y , z ) ?( z , x ) ?( x , y ) , , ?( u, v ) ?( u, v ) ?( u, v )
不同时为零, 则分别有
?( y , z ) Pdydz ? ? ?? P ( x( u, v ), y(u, v ), z (u, v )) dudv , (5) ?? ? ( u, v ) S D
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
?( z , x ) Qdzdx ? ? ?? Q( x( u, v ), y( u, v ), z( u, v )) dudv , (6) ?? ? ( u, v ) S D ?( x , y ) Rdxdy ? ? ?? R( x( u, v ), y( u, v ), z( u, v )) dudv , (7) ?? ? ( u, v ) S D
注 (5),(6),(7) 三式前的正负号分别对应 S 的两侧, 特别当 向一侧时,
uv 平面的正方向对应于曲面
式前取正号, 否则取负号.
S
所选定的正
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
例3 计算
?? x dydz , 其中 S 为椭球面
3 S
x2 y2 z2 ? 2 ? 2 ?1 2 a b c
的上半部分, 并取外侧.
解 把曲面表示为参数方程:
由(5)式有
x ? a sin ? cos? , y ? b sin ? sin? , z ? c cos ? π (0 ? ? ? , 0 ? ? ? 2 π) . 2
?? x dydz ? ? ?? a
3 S D( ? ? )
3
sin ? cos ? ? Ad? d? ,
3 3
(8)
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
其中
?( y, z ) b cos? sin? b sin? cos? A? ? ? bc sin 2 ? cos? , ?(? ,? ) ?c sin? 0
积分是在 S 的正侧进行. 号, 即
3 x ?? dydz ? S
由上述的注, (8)式右端取正
D( ? ? )
3
??
a 3 sin 3? cos 3 ? ? bc sin 2 ? cos? d? d?
? 2 0 5 2?
? a bc ? sin ? d? ? cos 4? d?
0
2 3 ? ?a bc . 5
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
两类曲面积分的联系
与曲线积分一样,当曲面的侧确定之后,可以建立 两种类型曲面积分的联系.
设 S 为光滑曲面, 并以上侧为正侧, R 为 S 上的连续
函数, 曲面积分在 S 的正侧进行.
n ||T ||?0 i
因而有
i i
?? R( x, y, z )dxdy ? lim ? R(? ,? ,?
S i ?1
)?Si ( xy ) . (9)
由曲面面积公式(第二十一章§6),
1 ?Si ? ?? dxdy , cos ? Si ( xy )
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
其中 ? 是曲面
Si
的法线方向与 z 轴正向的交角, 它 因为积分沿曲面正侧进行,
是定义在
Si ( xy ) 上的函数.
所以 ? 是锐角.
又由 S 是光滑的, 所以 应用中值定理, 在
cos ? 在闭域
S i ( xy ) 上连续.
S i ( xy ) 内必存在一点,
使这点的法线方向与 z 轴正向的夹角
或 于是
1 ?S i ? ?Si ( xy ) * cos ? i
? i*
满足等式
?Si ( xy ) ? cos ? i* ? ?Si . R(? i ,?i , ? i )?Si ( xy ) ? R(? i ,?i , ? i )cos ? i*?Si . (10)
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
cos ? i 表示曲面 Si 在点 ( xi , yi , zi ) 的法线方向 则由 cos ? 的连续性, 可推 与 z 轴正向夹角的余弦,
现以 得当 得到
|| T ||? 0 时,
(10)式右端极限存在.
因此由(9)式
?? R( x, y, z )dxdy ? ?? R( x, y, z )cos ? dS .
S S
(11)
这里注意当改变曲面的侧向时, 左边积分改变符号; 右边积分中角 ? 改为
? ? π,
因而
cos ?
也改变符号,
所以右边积分也相应改变了符号.
同理可证:
?? P( x, y, z )dydz ? ?? P( x, y, z )cos?dS ,
S S
(12)
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
?? Q( x, y, z )dzdx ? ?? Q( x, y, z )cos ? dS ,
其中? , ? 分别是 S 上的法线方向与 x 轴正向和与 y
轴正向的夹角. 一般地有
S S
(13)
?? P ( x, y, z )dydz ? Q( x, y, z )dzdx ?R( x, y, z )dxdy
S
? ?? ? P ( x , y , z )cos ? ? Q ( x , y , z )cos ?
S
? R( x, y, z )cos ? ? dS . (14) cos ? , cos ? , cos ? 之后, 由 这样, 在确定了余弦函数
(11), (12),(13),(14) 式便建立了两种不同类型曲面积 分的联系.
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
注 当曲面由
时,
z ? z( x , y ),( x , y ) ? D( xy )
2 dS ? 1 ? z x ? z2 y dxdy ,
表示, 且取上侧
cos ? ?
因此
? zx 1? z ? z
2 x 2 y
, cos ? ?
?zy 1? z ? z
2 x 2 y
, cos ? ? 1;
?? P( x, y, z )dydz ? Q( x, y, z )dzdx ?R( x, y, z )dxdy
S
?
D( xy )
?? [ P ( x, y, z )(?z
x
) ? Q( x , y , z )( ? z y ) ? R( x , y , z )]dxdy .
上式避免了同一曲面要向三坐标平面作投影, 从而 使计算得到简化.
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
例4 计算 其中 解
??
S
y( x ? z )dydz ? x 2dzdx ? ( y 2 ? xz )dxdy ,
的部分, 并取上侧.
2 2 S为 z ? 5 ? x ? y , z ? 1
D( xy ) : x 2 ? y 2 ? 4; ? z x ? 2 x , ? z y ? 2 y .
?? y( x ? z )dydz ? x dzdx ? ( y
2
2
? xz )dxdy
?
?
D( xy )
??
S
2 2 2 2 ? y ( x ? (5 ? x ? y ))(2 x ) ? x (2 y ) ? y ? xz ? ? ? dxdy
D( xy )
??
y dxdy ? ? d? ? r 3 sin 2 ? dr ? 4π.
2 0 0
2?
2
§2 第二型曲面积分
曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
上面第二步计算后得到
D( xy )
??
是利用了积分区 y dxdy ,
除了这一项外,其
2
域的对称性和被积函数的奇偶性, 他各积分项全都等于零.