高等数学(2017高教五版)课件第二型曲面积分(工科类)_图文

数学分析 第二十二章 曲面积分 第二型曲面积分的典型 物理背景是计算流体从曲 面一侧流向另一侧的流量 . 与第二型曲线积分相类似 , 第二型曲面积分与曲面所 取的方向有关, 这就需要先 定义“曲面的侧”.

§2 第二型曲面积分

一、曲面的侧 二、第二型曲面积分的概念 三、第二型曲面积分的计算 四、两类曲面积分的联系

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§2 第二型曲面积分

曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

曲面的侧
设连通曲面 S 上到处都有连续变动的切平面 ( 或法 线 ), 曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取 另一个指向就是负方 当 S 上的动点 M 从 时,如果有如下特 M
0

定其中一个指向为正方向时,
向. 又设

M 0 为 S 上任一点, L为 S上任一经过点

且不超出 S 边界的闭曲线.
出发沿 L 连续移动一周而回到 征: 出发时 M 与
0

M0 , M0

取相同的法线方向 , 而回来时仍 M

保持原来的法线方向不变,则称该曲面 S 是双侧的. 否则, 若

M 由某一点

M 0 出发, 沿 S 上某一封闭曲线
后退 前进 目录 退出

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

回到

时 M 0 , 其法线方向与出发时的方向相反, 则称 单侧曲面的

S 是单侧曲面. 我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面. 一个典型例子是默比乌斯(M?bius)带. 法如下:

它的构造方

取一矩形长纸条ABCD (如图22-4(a)), 将其 ( 即让 A 与 C 一端扭转 180? 后与另一端粘合在一起

重合, B 与 D 重合, 如图22-4(b)所示 ).

B A

C
M0

BD

D

AC

(a)

图 22 ? 4

(b)

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

默比乌斯( M? bius,A.F. 1790－1868, 德 国)

通常由

z ? z ( x , y ) 所表示的曲面都是双侧曲面,
当 S 为封闭曲面时,法线方向朝外

其法

线方向与 z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧, 另一侧称为下侧.

的一侧称为外侧，另一侧称为内侧.
作为正侧,下侧作为负侧; 正侧, 内侧作为负侧.

习惯上把上侧

又把封闭曲面的外侧作为

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

第二型曲面积分的概念
先考察一个计算流量的问题. 设某流体以流速

? v ? P ( x , y , z ) i +Q( x , y , z ) j +R( x , y , z ) k
其中 P, Q, R 为

从曲面 S 的负侧流向正侧 (图22-5),
所讨论范围上的连续函

S
Si

数,

求在单位时间内流过

曲面 S 的总流量 E. 设在 S 上任一点

(?i ,?i ,? i )

?

n

v

( x, y, z )
图 22 ? 5

处的正向单位法向量为

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曲面的侧

? n ? (cos ? ,cos ? ,cos ? ),

概念

计算

两类曲面积分的联系

这里 ?, ?, ? 都是 x, y, z 的函数. 小曲面块

则单位时间内流经

的流量 S i ? ? ?i ? v (? i ,?i , ? i ) ? n(? i ,?i , ? i )?Si

? [ P (? i ,?i ,? i )cos? i ? Q(? i ,?i , ? i )cos ? i ? R(? i ,?i ,? i )cos ? i ]?Si , 其中 M i (? i ,?i , ? i ) ? Si 是任意取定的一点; ? 处的单位法向量; ni ? (cos ? i , cos ? i , cos ? i ) 是点 M i ?Si cos? i , ?Si cos ? i , ?Si cos ? i 分别是 S i 在坐标面 分别记作 ?S yz , zx , xy 上投影区域的近似面积, i ( yz ) ,

?Si ( zx ) , ?Si ( xy ) .

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

于是单位时间内由

Si

的负侧流向正侧的流量

?i

也就

近似等于

P (? i ,?i ,? i )?Si ( yz ) ? Q(? i ,?i ,? i )?Si ( zx ) ? R(? i ,?i ,? i )?Si ( xy ) .
所以, 单位时间内由
n n ||T ||?0

S
i ?1

的负侧流向正侧的总流量

? ? ??i ? lim ? ? ? P (? i ,? i , ? i )?Si ( yz )
i ?1

?Q(? i ,?i ,? i )?Si ( zx ) ? R(? i ,?i ,? i )?Si ( xy ) ? ?.
这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第
二型曲面积分.

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

定义1
设 P, Q, R 为定义在双侧曲面 S 上的函数. 割T, 它把 S 分为 对 S 作分 分割 T 的细度为

|| T ||? max? Si 的直径 ? .
1? i ? n

S1 , S2 , ?, Sn ,

?Si ( yz ) , ?Si ( zx ) , ?Si ( xy ) 分别表示
的投影区域的面积, 它们的符号由

Si

在三个坐标面上

S i 的方向来确定: ? ? 0, Si 取上侧 , ? ? 0, Si 取前侧 , ? Si ( xy ) ? ? Si ( yz ) ? ? ? 0, Si 取下侧; ? ? 0, Si 取后侧; ? ? 0, Si 取右侧 , ? Si ( zx ) ? ? ? 0, Si 取左侧 .

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曲面的侧

概念

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两类曲面积分的联系

定义1

?(? i ,?i ,? i ) ? Si , i ? 1, 2, ?, n .
n ||T ||?0 i ?1

若
n

I ? lim ? P (? i ,?i , ? i )?Si ( yz ) ? lim ? Q(? i ,?i , ? i )?Si ( zx )
||T ||?0

? lim
的选取无关,

||T ||?0

? R(? ,? , ?
i ?1 i i

n

i ?1

i

)?Si ( xy )

中的三个极限都存在,

且与分割 T 和点

(? i ,?i ,? i ) 的

?? F ? P ( x , y , z ) i +Q( x , y , z ) j +R( x , y , z ) k 记作 在曲面 S 所指定一侧上的第二型曲面积分, P ( x, y, z )dydz ? Q( x , y, z )dzdx ? R( x , y, z )dxdy ? I , ?? S (1)

则称此极限 I 为向量函数

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

或

据此定义, 某流体以速度

?? P( x, y, z )dydz ? ?? Q( x, y, z )dzdx ? ?? R( x , y, z )dxdy ? I . ?
S S S

v ? ( P , Q , R ) 从曲面 S 的

负侧流向正侧的总流量即为

? ? ?? P ( x, y, z )dydz ? Q( x , y, z )dzdx ? R( x , y , z )dxdy .
S

又如, 若空间中的磁场强度为

?? E ? ? P ( x , y, z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ) ? , 则按指定方向穿过曲面 S 的磁通量(磁力线总数)为

H ? ?? P ( x , y, z )dydz ? Q( x , y, z )dzdx ? R( x , y, z )dxdy .
S

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

若以

S ? 表示曲面 S 的另一侧, 由定义易知 ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy
? ? ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy .
S
S?

第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的性质: 1. 若

?? P dydz ? Q dzdx ? R dxdy (i ? 1,2,?, k ) 存在,
i i i

则有

?? (? c P )dydz ? (? c Q )dzdx ? (? c R )dxdy
S i ?1 i i i ?1 i i i ?1 i i

S

k

k

k

? ? ci ?? Pi dydz ? Qi dzdx ? Ri dxdy ,
i ?1

k

其中

ci ( i ? 1,2,?, k ) 是常数 .

Si

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

2. 若曲面S是由两两无公共内点的曲 面

S1 , S2 ,?, Sk

所组成, 则有

?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy
S

? ? ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy .
i ?1 Si

k

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

第二型曲面积分的 计 算
定理22.2
设

R( x , y , z )是定义在光滑曲面 S : z ? z( x , y ),( x , y ) ? D( xy ) .
以 S 的上侧为正侧(这时 S 的法线方 则有

上的连续函数, 向与

z 轴正向成锐角),

?? R( x, y, z )dxdy ? ?? R( x, y, z( x, y ))dxdy .
S D( xy )

(2)

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

证 由第二型曲面积分的定义,

?? R( x, y, z )dxdy ? lim ? R(? ,? ,?
S ||T ||?0 i ?1 n i i
d ?0 i ?1

n

i

)?Si ( xy )

? lim ? R(? i ,?i , z(? i ,?i ))?Si ( xy ) ,
这里

d ? max?Si ( xy ) 的直径? . 显然有
z 在 D( xy ) 上连续(曲面光滑),
据

|| T || ? max ? Si 的直径? ? 0 ? d ? 0.
由于 R 在 S 上连续, 复合函数的连续性, 由二重积分的定义,

R( x , y , z( x , y )) 在 D( xy )上也连续.

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

D( xy )

?? R( x, y, z( x, y ))dxdy ? lim ? R(? ,? , z(? ,? ))?S
d ?0 i ?1 i i i i

n

i ( xy )

.

所以

?? R( x, y, z )dxdy ? ?? R( x, y, z( x, y ))dxdy .
S D( xy )

类似地, 当

P ( x , 在光滑曲面 y, z )
S : x ? x ( y , z ) , ( y , z ) ? D( yz )
有

上连续时,

?? P ( x, y, z )dydz ? ?? P ( x( y, z ), y, z )dydz .
S D( yz )

(3)

这里 S 是取法线方向与 侧为正侧.

x

轴的正向成锐角的那一

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

当

在光滑曲面 Q( x , y , z )

S : y ? y( z , x ), ( z , x ) ? D( zx )
上连续时, 有

?? Q( x, y, z )dzdx ? ?? Q( x, y( z, x ), z )dzdx.
S Dzx

(4)

这里 S 是取法线方向与 侧为正侧.

y

轴的正向成锐角的那一

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

例1 计算

?? xyzdxdy,
S

z

其中 S 是球 面 在

x2 ? y2 ? z2 ? 1
部分并取球面
x

x?0, y?0

O

S1
y

的外侧(图 22-6).
解 曲面 S 在第一、五卦限部 分的方程分别为

S2

图 22 ? 6

S1 : z1 ? 1 ? x 2 ? y 2 ,
S 2 : z2 ? ? 1 ? x 2 ? y 2 .

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

它们在 xy 平面上的投影区域都是单位圆在第一象 限部分.
因积分是沿

S1 的上侧和 S2 的下侧进行,
S2

故

?? xyzdxdy ? ?? xyzdxdy ? ?? xyzdxdy
S
S1

?

D( xy )

??

xy 1 ? x 2 ? y 2 dxdy ?

D( xy )

?? ?

? xy 1 ? x 2 ? y 2 dxdy

?

? 2 ?? xy 1 ? x 2 ? y 2 dxdy
D( xy )
π 2 0

? 2?

2 d? ? r cos? sin? 1 ? r dr = . 0 15
1 3 2

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

例2 计算

??
S

e

y

x2 ? z2

dzdx , 其中 S

是由曲面

y ? x 2 ? z 2 与 y ? 1, y ? 2
解 曲面

所围立体表面的外侧. 其中

S ? S1 ? S2 ? S3 ,

S1 ? ( x , y ) x 2 ? z 2 ? 1, y ? 1 , 取左侧,
其投影为

?

?

S2 ? ( x , y ) x 2 ? z 2 ? 2, y ? 2 , 取右侧,
其投影为

?

D1 : x 2 ? z 2 ? 1;

?

S3 ? ( x , y ) y ? x 2 ? z 2 ,1 ? y ? 2 , 取左侧,

?

D2 : x 2 ? z 2 ? 2;

?

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

其投影为

D3 :1 ? x 2 ? z 2 ? 2.
e
2π

I1 ? ??
S1

y

x2 ? z2
1 0

dzdx ? ? ??
D1

e x2 ? z2

dzdx

（取左侧）

? ?e ?

1 d? ? rdr ? ?2eπ. 0 r
y

I 2 ? ??
S2

e

x2 ? z2

dzdx ? ??
D2
2

e

2

x2 ? z2

dzdx

（取右侧）

?e

2

?

2π

0

d? ?

0

1 r dr ? 2 2e 2 π. r

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

I 3 ? ??
S3

e

y

x2 ? z2
2π 2 0 1

dzdx ? ? ??
D3

e

x2 ? z2

x2 ? z2
2

d zd x

（取左侧）

? ? ? d? ?
因此

er r dr ? ?2(e r

? e) π.

??
S

e

y

x2 ? z2

dzdx ? I1 ? I 2 ? I 3
? ?2eπ+2 2e 2 π ? 2(e ? 2( 2 ? 1)e 2 π.
2

? e)π

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

如果光滑曲面 S 由参数方程给出:

? x ? x ( u, v ), ? S : ? y ? y( u, v ), ( u, v ) ? D . ? z ? z ( u, v ), ?
若在 D 上各点它们的函数行列式

?( y , z ) ?( z , x ) ?( x , y ) , , ?( u, v ) ?( u, v ) ?( u, v )
不同时为零, 则分别有

?( y , z ) Pdydz ? ? ?? P ( x( u, v ), y(u, v ), z (u, v )) dudv , (5) ?? ? ( u, v ) S D

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两类曲面积分的联系

?( z , x ) Qdzdx ? ? ?? Q( x( u, v ), y( u, v ), z( u, v )) dudv , (6) ?? ? ( u, v ) S D ?( x , y ) Rdxdy ? ? ?? R( x( u, v ), y( u, v ), z( u, v )) dudv , (7) ?? ? ( u, v ) S D
注 (5),(6),(7) 三式前的正负号分别对应 S 的两侧, 特别当 向一侧时,

uv 平面的正方向对应于曲面
式前取正号, 否则取负号.

S

所选定的正

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

例3 计算

?? x dydz , 其中 S 为椭球面
3 S

x2 y2 z2 ? 2 ? 2 ?1 2 a b c

的上半部分, 并取外侧.

解 把曲面表示为参数方程:

由(5)式有

x ? a sin ? cos? , y ? b sin ? sin? , z ? c cos ? π (0 ? ? ? , 0 ? ? ? 2 π) . 2

?? x dydz ? ? ?? a
3 S D( ? ? )

3

sin ? cos ? ? Ad? d? ,
3 3

(8)

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概念

计算

两类曲面积分的联系

其中

?( y, z ) b cos? sin? b sin? cos? A? ? ? bc sin 2 ? cos? , ?(? ,? ) ?c sin? 0
积分是在 S 的正侧进行. 号, 即
3 x ?? dydz ? S

由上述的注, (8)式右端取正

D( ? ? )
3

??

a 3 sin 3? cos 3 ? ? bc sin 2 ? cos? d? d?
? 2 0 5 2?

? a bc ? sin ? d? ? cos 4? d?
0

2 3 ? ?a bc . 5

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

两类曲面积分的联系
与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立 两种类型曲面积分的联系.

设 S 为光滑曲面, 并以上侧为正侧, R 为 S 上的连续
函数, 曲面积分在 S 的正侧进行.
n ||T ||?0 i

因而有
i i

?? R( x, y, z )dxdy ? lim ? R(? ,? ,?
S i ?1

)?Si ( xy ) . (9)

由曲面面积公式（第二十一章§6）,

1 ?Si ? ?? dxdy , cos ? Si ( xy )

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

其中 ? 是曲面

Si

的法线方向与 z 轴正向的交角, 它 因为积分沿曲面正侧进行,

是定义在

Si ( xy ) 上的函数.

所以 ? 是锐角.

又由 S 是光滑的, 所以 应用中值定理, 在

cos ? 在闭域

S i ( xy ) 上连续.

S i ( xy ) 内必存在一点,

使这点的法线方向与 z 轴正向的夹角

或 于是

1 ?S i ? ?Si ( xy ) * cos ? i

? i*

满足等式

?Si ( xy ) ? cos ? i* ? ?Si . R(? i ,?i , ? i )?Si ( xy ) ? R(? i ,?i , ? i )cos ? i*?Si . (10)

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两类曲面积分的联系

cos ? i 表示曲面 Si 在点 ( xi , yi , zi ) 的法线方向 则由 cos ? 的连续性, 可推 与 z 轴正向夹角的余弦,
现以 得当 得到

|| T ||? 0 时,

(10)式右端极限存在.

因此由(9)式

?? R( x, y, z )dxdy ? ?? R( x, y, z )cos ? dS .
S S

(11)

这里注意当改变曲面的侧向时, 左边积分改变符号; 右边积分中角 ? 改为

? ? π,

因而

cos ?

也改变符号,

所以右边积分也相应改变了符号.

同理可证:

?? P( x, y, z )dydz ? ?? P( x, y, z )cos?dS ,
S S

(12)

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概念

计算

两类曲面积分的联系

?? Q( x, y, z )dzdx ? ?? Q( x, y, z )cos ? dS ,
其中? , ? 分别是 S 上的法线方向与 x 轴正向和与 y
轴正向的夹角. 一般地有
S S

(13)

?? P ( x, y, z )dydz ? Q( x, y, z )dzdx ?R( x, y, z )dxdy
S

? ?? ? P ( x , y , z )cos ? ? Q ( x , y , z )cos ?
S

? R( x, y, z )cos ? ? dS . (14) cos ? , cos ? , cos ? 之后, 由 这样, 在确定了余弦函数
(11), (12),(13),(14) 式便建立了两种不同类型曲面积 分的联系.

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概念

计算

两类曲面积分的联系

注 当曲面由
时,

z ? z( x , y ),( x , y ) ? D( xy )
2 dS ? 1 ? z x ? z2 y dxdy ,

表示, 且取上侧

cos ? ?
因此

? zx 1? z ? z
2 x 2 y

, cos ? ?

?zy 1? z ? z
2 x 2 y

, cos ? ? 1;

?? P( x, y, z )dydz ? Q( x, y, z )dzdx ?R( x, y, z )dxdy
S

?

D( xy )

?? [ P ( x, y, z )(?z

x

) ? Q( x , y , z )( ? z y ) ? R( x , y , z )]dxdy .

上式避免了同一曲面要向三坐标平面作投影, 从而 使计算得到简化.

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计算

两类曲面积分的联系

例4 计算 其中 解

??
S

y( x ? z )dydz ? x 2dzdx ? ( y 2 ? xz )dxdy ,
的部分, 并取上侧.

2 2 S为 z ? 5 ? x ? y , z ? 1

D( xy ) : x 2 ? y 2 ? 4; ? z x ? 2 x , ? z y ? 2 y .

?? y( x ? z )dydz ? x dzdx ? ( y
2

2

? xz )dxdy

?
?

D( xy )

??

S

2 2 2 2 ? y ( x ? (5 ? x ? y ))(2 x ) ? x (2 y ) ? y ? xz ? ? ? dxdy

D( xy )

??

y dxdy ? ? d? ? r 3 sin 2 ? dr ? 4π.
2 0 0

2?

2

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曲面的侧

概念

计算

两类曲面积分的联系

上面第二步计算后得到

D( xy )

??

是利用了积分区 y dxdy ,
除了这一项外,其

2

域的对称性和被积函数的奇偶性, 他各积分项全都等于零.