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上海财经大学经济学院《高级微观经济学》题库3

上海财经大学经济学院《高级微观经济学》题库3

作业二
作业上交日期:

1.需求
考虑一个只有三个商品的经济。假设消费者对两种商品的需求函数是 x1 ( p, w) =

p2 , p3

x2 ( p, w) = ?

p1 。消费者的需求函数满足瓦尔拉斯法则。 p3

(1)求他对第三种商品的需求函数; (2)此需求函数 x ( p , w) 是不是零次齐次的? (3)此需求函数 x ( p , w) 是否满足显示偏好弱公理?

2. 效用最大化与支出最小化
假设消费者的偏好可以用以下效用函数表示 u(x1,/x2)= x1 (x2+c) ,其中 c>0 是给定的参数 (1) 画出一组表示该偏好的无差异曲线; (2) 计算该消费者的马歇尔需求函数; (3) 计算该消费者的间接效用函数和支出函数;

3. 间接效用函数
假设 u 是一个效用函数,而 v 是对应的间接效用函数。 证明:(1)对于所有的价格向量 p >> 0 和可行的消费束 x >> 0 ,都有 v ( p , px ) ≥ u ( x ) ; (2)是否总是存在一个价格向量 p 使得 v ( p , px ) = u ( x ) ?如果是,请证明,如果 不是请举一个反例。

4. 斯勒茨基方程
在一个有三个商品的经济中,消费者拥有财富 w ,他对第一、二种商品的需求函数为:

x1 = 100 ? 5

p p w p1 p w + β 2 +δ ; x2 = α + β 1 + γ 2 + δ 。 p3 p3 p3 p3 p3 p3

其中,这些希腊字母代表非零的常数。 (1)怎样求第三种商品的需求函数? (2)第一,第二种商品的需求函数是齐次的吗? (3)如果这些需求函数是由效用最大化得到的,那么这些希腊字母满足怎样的要求?

5. 斯勒茨基方程
(1)证明 pσ(p.u)=0.其中 p=(p1, p2,.., pn), σ(p.u)是一个理性的消费者的 Slutskty 替代矩 阵; (2)下面的矩阵是某一理性消费者的替代矩阵。价格分别为 p1 = 1 , p2 = 2 , p3 = 6 。 求矩阵中剩余的几个位置的值。

1/2

? ?10 ? ? ? ? ? ?4 ? ? ? ? ? 3 ? ?? ? ?

6. 最优化分析:应用
假设有两个人,一男一女,分别记为 m 和 f ,男女工资率分别为 wm 和 w f 。每个人都有 1 单位的劳动禀赋,每个人除了工资收入没有其他收入来源,各自的效用函数为:

U i = ln Ci + ln li + α i ln n

i = f ,m

其中, Ci 和 li 分别表示个人 i 的私人消费和闲暇时间, n 为孩子数量。 α i 表示 i 对孩子的 偏好系数。 (1) 考虑一个单身问题,此时 α i = 0 ,写出个人 i = f , m 的预算约束,并计算最优配置以 及相应的效用水平。 (个人消费和闲暇总支出不超过个人禀赋价值,令消费品价格为 1, 仔细考虑闲暇的价格) (2) 考虑一个家庭决策问题,假设两个人组成家庭,家庭通过选择 (C f , l f , Cm , lm , n) 来最 大化家庭福利水平:

? = θ [ln C f + ln l f + α f ln n] + (1 ? θ )[ln Cm + ln lm + α m ln n]
期中 θ 表示妇女在家庭中的地位。 所以, 生育 n 个孩 假设生育孩子一个需要耗费女性和男性的时间分别为 τ f = τ > τ m = 0 。

子降耗费女性是 τ n 单位时间。 a) 请写出家庭的预算约束(家庭消费和闲暇总支出不超过家庭禀赋价值,令消费品价 格为 1,注意生育孩子所耗费时间对禀赋价值的影响) ; (C f , l f , Cm , lm , n) ; b) 计算家庭的最优配置 c) 分析在什么情况下,女性家庭地位的提高将会降低孩子数量。

阅读相关文献讨论: (1)Iyigun and Walsh (2007)假设家庭是根据最大化目标函数?进 行决策的,其基本假设是什么?有什么合理性?文献还有那些家庭决策模型? (2)在 Iyigun and Walsh (2007)中孩子数量 n 直接进入效用函数。如何看待这一 假设的合理性?这与中国传统上“养儿防老”说法是否有差异? 参考文献: Iyigun, Murat and Randall P. Walsh. 2007, “Endogenous gender power, household labor supply and the demographic transition”, Journal of Development Economics 82 (2007) 138– 155.

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