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上海财经大学经济学院《高级微观经济学》题库8

上海财经大学经济学院《高级微观经济学》题库8

作业四
1、一个消费者关于他的财富水平 w 的期望效用函数为 u ( w) = w 。假设他的初始财富为 8 元,现在这个消费者拥有一张彩票,这张彩票以 0.5 的概率给他带来 8 元的收入,以 0.5 的概率给他带来 1 元的收入,计算该消费者的期望效用。该消费者愿意最低以多少钱将 这张彩票卖出? 答:该消费者的期望效用为 0.5 8 + 8 + 0.5 8 + 1 = 3.5 。假设该消费者愿意以 P 的价格卖 出这张彩票,我们有如下关系式: 8 + P = 3.5 ,故 P = 4.25 。

2、假设彩票的结果空间为 A = {a1 , a2 ,… a n } ,证明或者举出反例说明下面两种消费者面对 不确定性时作选择的方式是否满足独立公理: (1) 标准 I: 比较出现好的结果的概率: 首先将集合 A 划分成好的结果 G 和坏的结果 B 两 个子集, A = G ∪ B ,且 G ∩ B = ? 。对于任意两个彩票 p = ( p(a1 ), p(a2 ),… p(an )) 和

q = (q(a1 ), q(a2 ),… q(an )) ,其中 ∑i =1 p(ai ) = 1 , ∑ i =1 q(ai ) = 1 ,按照此标准, p
n n

q

当且仅当



ai ∈G

p(ai ) > ∑ a ∈G q(ai ) 。
i

a2 a n ,对任意 彩票 g ,令 a ( g ) 为在彩票 g 中可能出现的最坏的结果(即出现 a ( g ) 的概率大于 0) 。比 较 任 意 两 个 彩 票 p = ( p(a1 ), p(a2 ),… p(an )) 和 q = (q(a1 ), q(a2 ),… q(an )) , 其 中

(2) 标准 II:比较可能出现的最坏的结果:不失一般性,假设 a1



p(ai ) = 1 , ∑ i =1 q(ai ) = 1 ,按照此标准, p i =1
n n

q 当且仅当 a ( p )

a (q ) 。

答:(1) 标准 I 满足独立公理。因为我们可以构造出满足此选择标准的 vNM 期望效用函数, 而期望效用满足独立公理。令 u (ai ) = 1 ,如果 ai ∈ G ; u (ai ) = 0 ,如果 ai ∈ B 。则彩 票 p 的期望效用为



n i =1

p(ai )u (ai ) = ∑ a ∈G p(ai ) ,彩票 q 的期望效用为 ∑ a ∈G q(ai ) ,
i i

因此标准 I 等价于用上面的期望效用去比较彩票。 (2) 标准 II 不满足独立公理。 反例如下: 假设 n = 2 , 1 a

a2 , 根据该标准,L1 = (1 a1 ,0 a2 )

应 当 严 格 优 于 L2 = (0.5 a1 , 0.5 a2 ) , 考 虑 彩 票 L3 = (0 a1 ,1 a2 ) , 对 于 复 合 彩 票

L4 = (0.5 L1 ,0.5 L3 ) 和 L5 = (0.5 L2 ,0.5 L3 ) ,假如独立公理成立,应当有 L4

L5 ,但

是根据标准 II,L4 = (0.5 a1 , 0.5 a2 ) ? L5 = (0.25 a1 , 0.75 a2 ) , L4 与 L5 无差异, 即 矛盾。

3、假设一个消费者的 Bernoulli 效用函数是 u ( x) = x , (1)计算小明在财富水平为 5 时的绝对风险厌恶系数(Arrow-Pratt)和相对风险厌恶系数。
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(2)面对彩票 g1 = (

1 1 16, 4) ,计算消费者的确定性等价(Certain Equivalent)和风 2 2 1 1 ; 36, 16) ,计算消费者的确定性等价(CE)和风险酬金(PP) 2 2

险酬金(Probability Premium) ; (3)面对彩票 g 2 = (

(4)比较(2),(3)结果,并做相应解释。 (补充题目 夏继军)
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解答:(1) 绝对风险厌恶系数 rA (u ,5) = 0.1 ,相对风险厌恶系数 rR (u ,5) = 0.5 . (2) 用定义直接求得 C ( g1 , u ) = 9 , π (10, 6, u ) = (3) C ( g 2 , u ) = 25 , π (26,10, u ) =

1 ( 10 ? 3) 2

1 ( 26 ? 5) 2

(4)以上结果满足递减绝对风险系数的效用函数的性质。 4、个人的两期消费的 VNM 效用函数是

u (c1 ) + u (c2 ) , 第一期的收入为 1, 其中 u ' > 0, u '' < 0, u '(0) = ∞ ,c1 和 c2 分别是第一期和第二期的消费。 第二期收入为 I 2 在选择 c1 时是不确定的,以 (1 ? p ) 的概率 I 2 = 1 , 0.5 p 的概率 I 2 = 0 , 0.5 p 的概率 I 2 = 2 。他可以在一期以零利息存一部分钱在第二期消费,但是不能从第二
期借钱。此人会在第一期存钱吗?考虑其中的直觉是什么。 解答:这个人的选择问题为:

Max u (c1 ) + Eu (c2 ) c1 s.t. 0 ≤ c1 ≤ 1 c2 = I 2 + 1 ? c1 其中 I 2 分布如题设条件. 1 1 一 阶 条 件 为 u '(c1 ) ? pu '(3 ? c1 ) ? pu '(1 ? c1 ) ? (1 ? p )u '(2 ? c1 ) ? λ1 + λ2 = 0 知 道 2 2 c1 ≠ 1 ,即这个人会在第一期存钱,直觉为第二期的确定性等价为一个小于 1 的财富值,
于是在无利率的情况下,一个风险厌恶的人会选择平滑消费,于是在第一期存钱。

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