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电磁场与电磁波 西安交通大学出版社 冯恩信习题解3a

电磁场与电磁波 西安交通大学出版社 冯恩信习题解3a

第3章习题

3-1 半径为 a 的薄圆盘上电荷面密度为 ρ s ,绕其圆弧轴线以角频率 ω 旋转形成电流,求电流面 密度。 解:圆盘以角频率 ω 旋转,圆盘上半径为 r 处的速度为 ωr ,因此电流面密度为

r r ? J s = ρ s v = ρ s rω?

3-2 在铜中,每立方米体积中大约有 8.5 × 10 28 个自由电子。如果铜线的横截面为 10cm 2 ,电 流为 1500 A 。计算 1) 电流密度; 2) 电子的平均漂移速度; 解:1)电流密度

J=

I 1500 = = 1.5 × 10 6 A / m ?4 S 10 × 10

2) 电子的平均漂移速度 J = ρv ,

ρ = eN = 1.6 × 10 ?19 × 8.5 × 10 28 = 1.36 × 1010 C / m 3
1.5 × 10 6 = 1.1 × 10 ?4 m / s ρ 1.36 × 1010 3-3 一宽度为 30cm 传输带上电荷均匀分布,以速度 20m / s 匀速运动,形成的电流,对应的电 流强度为 50?A ,计算传输带上的电荷面密度。 v= J =
解:电流面密度为

I 50 = = 166.7 ?A / m L 0.3 因为 J S = ρ S v J 166.7 所以 ρ S = S = = 8.33 ?C / m 2 v 20 r 3-4 如果 ρ 是运动电荷密度, U 是运动电荷的平均运动速度,证明: r r ?ρ ρ? ? U + U ? ?ρ + =0 ?t r 证:如果 ρ 是运动电荷密度, U 是运动电荷的平均运动速度,则电流密度为 r r J = ρU JS =
代入电荷守恒定律

r ?ρ ??J = ? ?t


?ρ =0 ?t 3-5 由 σ = 1.12 × 10 7 S / m 的铁制作的圆锥台, 高为 2m , 两端面的半径分别为 10cm 和 12cm 。

ρ? ? U + U ? ?ρ +

r

r

求两端面之间的电阻。

解:用两种方法 (1)如题图 3.5 所示

R=∫
l

2 dl dz 1 1 1 =∫ = ( ? ) 2 2 2 σS z1 σπz (tan α ) σπ (tan α ) z1 z 2

z

tan α =

0.02 = 0.01 2

题 3.5 图

z 1 = r1 / tan α = 0 . 1 / 0 . 01 = 10 . m , z 2 = r2 / tan α = 0.12 / 0.01 = 12 m 1 1 1 1 1 1 R= ( ? )= ( ? ) = 4.7 × 10 ?6 ? 2 7 ?4 σπ (tan α ) z1 z 2 1.12 × 10 × π × 10 10 12 (2)设流过的电流为 I ,电流密度为 I I J= = 2 S πr J I 电场强度为 E = = σ πσr 2 z2 z2 I 电压为 V = ∫ Edz = ∫ dz 2 z1 z1 π ( z tan α ) σ

R=

2 V dz =∫ = 4.7 × 10 ?6 ? I z1 πσ (tan α ) 2 z 2

z

3-6 在两种媒质分界面上,媒质 1 的参数为 σ 1 = 100S / m, ε r1 = 2 ,电流密度的大小为

50 A / m 2 ,方向和界面法向的夹角为 30 0 ;媒质 2 的参数为 σ 2 = 10S / m, ε r 2 = 4 。求媒质
2 中的电流密度的大小、方向和界面法向的夹角,以及界面上的电荷面密度。 解:根据边界条件 J 1n = J 2 n ,

E1t = E 2t ,

σ1

J 1t

=

σ2

J 2t

, J 2t =

σ2 J σ 1 1t

2 2 J 2 = J 2 n + J 2t = J 12n + (

σ2 2 2 σ ) J 1t = J 1 (cos α 1 ) 2 + ( 2 ) 2 (sin α 1 ) 2 σ1 σ1

= 50 ×

3 1 1 + × = 43.37 A / m 2 4 4 100

媒质 2 中的电流密度和界面法向的夹角为 α 2

tan α 2 =

J 2t J 2n

σ2 J sin α 1 σ1 1 σ = = 2 tan α 1 = 0.1 × tan α 1 = 0.0577 σ1 J 1 cos α 1
J 2n = J 1n

α 2 = 3.30
E1n = J 1n

σ1

, E2n =

σ2

σ2

ρ s = D2 n ? D1n = ε 2 E 2 n ? ε 1 E1n = (
= ε0(

ε 2 ε1 ? )J σ 2 σ 1 1n

ε 2 r ε 1r ? ) J 1 cos α 1 = 1.44 × 10 -10 C/m 2 σ 2 σ1

3-7 同轴电缆内导体半径为 a ,外导体半径为 b ,内外导体之间有两层媒质。内层从 a 到 b , 媒质的参数为 σ 1 , ε r1 ;外层从 b 到 c ,媒质的参数为 σ 2 , ε r 2 ;求 (1) 每区域单位长度的电容; (2) 每区域单位长度的电导; (3) 单位长度的总电容; (4) 单位长度的总电导。 解: 内外导体之间的两层媒质是非理想的,那么设同轴电缆内、外导体之间单位长度的漏电流 为 I 那么在半径为 r 的圆柱面上电流均匀,电流密度为

Jr = Er =
Er =

I 2πr

电场强度为

σ1

Jr

=
I

I 2πσ 1r

a<r <b

2πσ 2 r
b

b<r<c

第一层的电压为

V1 = ∫ E r dr =
a
c

I 2πσ 1
I

ln

b a
c b

第二层的电压为

V2 = ∫ E r dr =
b

2πσ 2

ln

第一层单位长度的电导为

G1 =

2πσ 1 I = b V1 ln a

第二层单位长度的电导为

单位长度的总电导为

2πσ 2 I = c V2 ln b I I G= = = 1 V V1 + V2 G2 =

2π ln b 1 c + ln a σ2 b

σ1

利用静电比拟 第一层单位长度的电容为

b 1 c + ln ε1 a ε 2 b 3-8 在上题中,当同轴电缆长度为 L ,内外导体之间的电压为 V ,利用边界条件求界面上的电 ln
荷面密度。 解: 由上题, V = V1 + V2 =

q 2πε 1 = b V1 ln a q 2πε 2 第二层单位长度的电容为 C2 = = c V2 ln b q q 单位长度的总电容为 C= = = 1 V V1 + V2 C1 =



I 2πσ 1

ln

b I c + ln a 2πσ 2 b

I = 1 2π
因此

V ln

b 1 c + ln σ1 a σ 2 b 1 V Er = 1 b 1 c σ 1r ln + ln σ1 a σ 2 b V 1 Er = 1 b 1 c σ 2r ln + ln σ1 a σ 2 b

a<r<b

b<r<c

1 1 b 1 c σ 1a ln + ln σ1 a σ 2 b ε 2V 1 ρ S ( r = c ) = Dn ( r = c ) = ε 2 E r = 1 b 1 c σ 2c ln + ln σ1 a σ 2 b ε ε V ρ S ( r = c ) = D n ( r = b+ ) ? D n ( r = b? ) = [ 2 ? 1 ] 1 b 1 c σ 2 b σ 1b ln + ln σ1 a σ 2 b 3-9 两同心导体球壳,内导体球壳半径为 3cm ,外导体球壳半径为 9cm 。两同心导体球壳之间

ρ S ( r = a ) = Dn ( r = a ) = ε 1 E r =

ε 1V

填充两层媒质,内层从 3cm 到 6cm ,媒质的参数为 σ 1 = 50?S / m, ε r1 = 3 ;外层从 6cm 到

9cm ,媒质的参数为 σ 2 = 100?S / m, ε r 2 = 4 ;求同心导体球壳

(1) 每区域的电容; (2) 每区域的电导; (3) 总电容; (4) 总电导。 解: 内外导体之间的两层媒质是非理想的,那么设同心导体球壳之间的漏电流为 I 那么在半径为 r 的圆球面上电流均匀,电流密度为

Jr =
电场强度为

I 4πr 2

Er = Er =

σ1

Jr

=

I 4πr 2

a<r <b b<r<c

I 4πr 2
b a
c

第一层媒质的电压为

V1 = ∫ E r dr =

1 1 ( ? ) 2πσ 1 a b
1 1 ( ? ) 2πσ 2 b c I

I

第二层媒质的电压为

V2 = ∫ E r dr =
b

2πσ 1ba I = V1 b?a 2πσ 2 bc I 第二层媒质单位长度的电导为 G2 = = V2 c?b I I 2π 单位长度的总电导为 G= = = 1 1 1 1 1 1 V V1 + V2 ( ? )+ ( ? ) σ1 a b σ 2 b c
第一层媒质单位长度的电导为

G1 =

利用静电比拟

2πε 1 q = 1 1 V1 ? a b 2πε 2 q 第二层单位长度的电容为 C2 = = V2 1 1 ? b c q q 2π 单位长度的总电容为 C= = = 1 1 1 1 1 1 V V1 + V2 ( ? )+ ( ? ) ε1 a b ε 2 b c 其中 a = 3 cm, b = 6 cm , c = 9 cm
第一层单位长度的电容为

C1 =

3-10 解:

上题中,内外导体之间的电压为 50V ,利用边界条件求界面上的电荷面密度。

由上题, V = V1 + V2 =

1 1 1 1 I ( ? )+ ( ? ) 2πσ 1 a b 2πσ 2 b c I

I V = 1 1 1 1 1 1 2π ( ? )+ ( ? ) σ1 a b σ 2 b c V 1 因此 Er = a<r<b 1 1 1 1 1 1 σ 1r 2 ( ? )+ ( ? ) σ1 a b σ 2 b c V 1 Er = b<r<c 1 1 1 1 1 1 σ 2r 2 ( ? )+ ( ? ) σ1 a b σ 2 b c ε 1V 1 ρ S ( r = a ) = Dn ( r = a ) = ε 1 E r = 1 1 1 1 1 1 σ 1a 2 ( ? )+ ( ? ) σ1 a b σ 2 b c ε 1V 1 ρ S ( r = c ) = Dn ( r = c ) = ε 2 E r = 1 1 1 1 1 1 σ 2c 2 ( ? )+ ( ? ) σ1 a b σ 2 b c ε ε V ρ S ( r = c ) = D n ( r = b+ ) ? D n ( r = b? ) = [ 22 ? 12] 1 1 1 1 1 1 σ 2b σ 1b ( ? )+ ( ? ) σ1 a b σ 2 b c

σ 1 , σ 2 , σ 3 ,平板面积为S,如果给平板电容器加电压V,求平板之间的电场。 解:设导电平板之间三层非理想介质中的电场均为匀强电场,分别为 E1 、 E 2 、 E3 ,根据电压 关系和边界条件, E1 、 E 2 、 E3 满足以下关系 E1 d 1 + E 2 d 2 + E3 d 3 = V E1σ 1 = E 2σ 2 = E3σ 3
解此方程组得

3-11 平板电容器两导电平板之间为三层非理想介质,厚度分别为 d 1 , d 2 d 3 , 电导率分别为

σ 2σ 3V σ 2σ 3 d1 + σ 1 σ 3 d 3 + σ 1σ 2 d 3 σ 1σ 3V E2 = σ 2σ 3 d1 + σ 1 σ 3 d 3 + σ 1σ 2 d 3 σ 2σ 1V E3 = σ 2σ 3 d 1 + σ 1 σ 3 d 3 + σ 1σ 2 d 3
E1 =
3-12 在§3.3例2中,如果在弧形导电体两弧面之间加电压,求该导电体沿径向的电阻。

解:设流过两弧面的电流为I。作以与两弧面同轴的半径为 r 的弧面,流过此弧面的电流密度为

r ? J = Jρ ,则由
I=

r r I = ∫∫ J ? dS
S



π
2

brJ

由此得

2I πbr J 2I E= = σ πσbr J= V=
c+a

两弧面之间的电压为 该导电体沿径向的电阻为


c

Edr =

2I a+c ln πσb c

R=

2 V a+c = ln I πσb c

3-13 圆球形电容器内导体半径为a,外导体内半径为c,内外导体之间填充两层介电常数分别 为 ε 1 , ε 2 ,电导分别为 σ 1 , σ 2 的非理想介质,两层非理想介质分界面半径为b,如果内外导体间 电压为V,求电容器中的电场及界面上的电荷密度。 解:由于圆球形电容器内填充两层非理想介质,有电流流过,设电流为I。在圆球形电容器内取

? 一半径为 r 的球面,流过此球面的电流密度为 J = Jρ ,则由 I =
I = J 4πr 2
电场强度为 或

r

r r J ? dS 得 ∫∫
S

J=
I

I 4πr 2

a<r<b
b<r<c
电压为

4πσ 1r 2 I E2 = 4πσ 2 r 2
b c

E1 =

V = ∫ E1dr + ∫ E 2 dr =
a b

I 1 1 1 1 1 1 { ( ? )+ ( ? )} 4π σ 1 a b σ 2 b c

由此求出电流与电压的关系后,电场为

E1 =

1 1 1 1 1 r2 σ 2 ( ? ) +σ1( ? ) a b b c σ 1V 1 E2 = 1 1 1 1 r2 σ 2 ( ? ) + σ1( ? ) a b b c

σ 2V

内导体表面的电荷密度为

ρ s1 = D1n (r = a ) = ε 1 E1 =
外导体内表面的电荷密度为

1 1 1 1 1 2 σ 2 ( ? ) + σ1( ? ) a a b b c

ε 1σ 2V

ρ s 2 = D2 n ( r = c ) = ? ε 2 E 2 = ?
媒质分界面的(驻立)电荷密度为

1 1 1 1 1 2 σ 2 ( ? ) + σ1( ? ) c a b b c

ε 2σ 1V

ρ s 3 = D2 n ? D1n = ε 2 E 2 ? ε 1 E1 =

(σ 1ε 2 ? σ 2ε 1 )V 1 1 1 1 1 2 σ 2 ( ? ) + σ1( ? ) b a b b c

3-14 求3-11题中电容器的漏电导。 解:由3-2题得

E1 =

σ 2σ 3V σ 2σ 3 d1 + σ 1 σ 3 d 3 + σ 1σ 2 d 3

流过电容器的电流为

所以

σ 1σ 2σ 3VS σ 2σ 3 d 1 + σ 1 σ 3 d 3 + σ 1σ 2 d 3 σ 1σ 2σ 3 S I G= = V σ 2σ 3 d 1 + σ 1 σ 3 d 3 + σ 1σ 2 d 3
I = J 1 S = σ 1 E1 S =

3-15 求3-13题中圆球形电容器的电容及漏电导。

解:此圆球形电容器的电容及漏电导是并串联的形式如图所示。

C1 =

4πε 1 4πε 2 4πσ 1 4πσ 2 ; C2 = ; G1 = ; G2 = 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? a b b c a b b c

3-16 分别求3-11题及3-13题中电容器的损耗功率。 解:(1)3-11题

P = VI = V 2 G =
(2)3-13题

σ 1σ 2σ 3 SV 2 σ 2σ 3 d1 + σ 1 σ 3 d 3 + σ 1σ 2 d 3

P = VI =

V2 4πV 2 = R b?a c?b + σ 1 ab σ 2 bc

3-17 边长均为a的正方体导电槽中充满电导率为 σ 的电解液,除导电板盖的电位为V外,槽的 其余五个边界面电位为零。求电解液中的电位。 解:此题电位所满足的方程和边界条件与题2-33相同,因此其解也与题2-33相同。 3-18 将半径为a的半个导电球刚好埋入电导率为 σ 的大地中,如图所示。求接地电阻。 解:设从地线流出的电流为I,在大地中作与导体球同心,半径为 r 的半球面,在此半球面上电

? 流密度 J = Jr 相同,显然满足关系
J=
电场强度为 导电球的电位为

r

I 2πr 2 E = J /σ = I 2πσr 2 a I V = ∫ Edr = 2πσa ∞

因此导电球的接地电阻为

R=
空空

V 1 = I 2πσa
地地

σ

a

题3-18 图 3-19 在电导率为 σ 的大地深处,相距d平行放置半径均为a的无限长导体圆柱。求导体圆柱之 间单位长度的漏电导。

解:用静电比拟法。此问题可与介质中的平行双导线比拟,其电导与电容的关系为

G=

σ C ε

因为介质中的平行双导线单位长度的电容为

C= ln

πε
D + D 2 ? 4a 2 2a

因此,埋地导体圆柱之间单位长度的漏电导为

G= ln

πσ
D + D 2 ? 4a 2 2a


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